1El ensayo de Bernoulli
Un ensayo de Bernoulli es un experimento con exactamente dos resultados posibles, mutuamente excluyentes: "éxito" (con probabilidad p) y "fracaso" (con probabilidad 1−p). En medicina, un ensayo de Bernoulli puede ser: un paciente responde o no responde a un tratamiento; una prueba diagnóstica da positivo o negativo; un recién nacido tiene o no tiene una determinada malformación. La distribución binomial modela el número total de éxitos al repetir un ensayo de Bernoulli n veces, de forma independiente entre repeticiones y con la misma probabilidad p de éxito en cada una.
2Condiciones para aplicar el modelo binomial
| Condición | Qué exige |
|---|---|
| Número fijo de ensayos (n) | Se decide de antemano cuántas repeticiones se van a observar |
| Dos resultados posibles por ensayo | Cada repetición es éxito o fracaso, sin categorías intermedias |
| Probabilidad de éxito constante (p) | La probabilidad no cambia entre un ensayo y el siguiente |
| Independencia entre ensayos | El resultado de un ensayo no afecta la probabilidad del siguiente |
La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos se calcula con la fórmula binomial P(X=k) = C(n,k) × pk × (1−p)n−k, donde C(n,k) es el número de combinaciones posibles de obtener k éxitos en n ensayos, independientemente del orden en que ocurran.
3Media y varianza de la distribución binomial
| Parámetro | Fórmula | Interpretación |
|---|---|---|
| Media (valor esperado) | μ = n × p | Número esperado de éxitos en n repeticiones — ej. con n=20 pacientes y p=0,70 de eficacia, se esperan en promedio 14 respondedores |
| Varianza | σ² = n × p × (1−p) | Cuantifica cuánto puede variar el número real de éxitos alrededor del valor esperado, de una repetición del experimento a otra |
4Aplicaciones médicas
El modelo binomial es la base estadística para preguntas como: si una vacuna tiene una eficacia conocida del 90% en prevenir la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que, entre 15 personas vacunadas y expuestas al patógeno, se enfermen 3 o más? También sustenta el cálculo de intervalos de confianza para proporciones (ej. la proporción de pacientes que responde a un tratamiento en un ensayo clínico) y es el modelo subyacente en las pruebas de significación para comparar dos proporciones (relacionado con el chi-cuadrado, capítulo III.5).
¿Por qué la condición de independencia entre ensayos es tan estricta, y qué pasa clínicamente cuando se viola? El modelo binomial asume que el resultado de un ensayo no afecta al siguiente — pero en la práctica clínica real esta condición puede violarse de formas sutiles. Si se está estudiando la respuesta a un tratamiento en pacientes que comparten el mismo entorno hospitalario, la misma cepa de un patógeno, o reciben cuidados del mismo equipo médico, sus resultados pueden estar correlacionados entre sí de forma no evidente (por ejemplo, por diferencias sistemáticas en la calidad de atención entre turnos o entre centros), violando el supuesto de independencia. Cuando esto ocurre, tratar los datos como binomiales subestima la variabilidad real del fenómeno —los intervalos de confianza calculados resultan artificialmente más estrechos de lo que deberían, dando una falsa sensación de precisión—. Por eso los estudios multicéntricos con esta estructura de datos correlacionados requieren métodos estadísticos más sofisticados (modelos jerárquicos o de efectos mixtos) que relajan el supuesto de independencia estricta del modelo binomial simple.
5Trampas de examen
| Trampa | Por qué confunde | Aclaración |
|---|---|---|
| Aplicar el modelo binomial cuando la probabilidad de éxito cambia entre ensayos | El escenario puede parecer "repetido" superficialmente | Si p cambia (por ejemplo, muestreo sin reposición de una población pequeña, donde extraer un caso modifica la proporción restante), el modelo binomial no es válido — se requiere la distribución hipergeométrica |
| Confundir la varianza binomial con la varianza de una variable continua cualquiera | Ambas se calculan y usan como medida de dispersión | La varianza binomial (npq) depende exclusivamente de n y p — no se estima empíricamente de los datos como en una variable continua genérica, se deriva directamente de los parámetros del modelo |
6Puntos clave
- Un ensayo de Bernoulli tiene dos resultados (éxito/fracaso); la binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes con p constante.
- Cuatro condiciones necesarias: n fijo, dos resultados por ensayo, p constante, independencia entre ensayos.
- Media = np; varianza = np(1−p).
- Aplicaciones típicas: eficacia de tratamientos/vacunas, comparación de proporciones — la violación de independencia (ej. datos correlacionados entre centros) invalida el modelo simple.